Jeffrey Cross
Jeffrey Cross

Matematik Pazartesi: Ötesinde Bir Temel

Matematiksel keşfe giden bir yol, değişkenlik gösterdiğinde ne olacağını görmek için iyi anlaşılan bir şeyin özelliklerini veya parametrelerini değiştirmekten ibarettir. Örneğin, ikili sayacımıza tuzaklar ekledik ve bu tuzaklar tetiklemeden önce depolayacakları mermer sayısının ayarlanması için izin verdi. Tuzak kapasitesini ayarlamak, üçlü sayı sistemi olan yeni bir matematiksel yapıya yol açtı.

Aslında değiştirilmiş makineyi inşa ederken, kaçış için yeni bir bileşen tanıttık. Öyleyse şimdi sormaya hazırız: neden kendimizi yalnızca bir top taşıyoruz? Aslında, James Tanton ve düzenlediği Global Matematik Projesi, bu ay dünyanın dört bir yanındaki insanlara soruyor: yer değerlerimizden biri her taşdığında iki top taşıyorsak ne olabilir? (Aşağıda hakkında daha fazla şey duyacağımız Jim Propp'un bu soruyu 1990'larda Tanton'a önerdiğini unutmayın.) Üçlü sayıcı / toplayıcı için çok basit bir değişiklik bu soruyu fiziksel olarak aydınlatacaktır.

Yani, tek yapmamız gereken, her kaçışı değiştirmek yerine, bir taneden ziyade iki topu tutmasıdır. Bu şekilde, ilişkili tuzağı tetiklendiğinde, bir sonraki tuzağa iki top bırakacaktır. Ve kaçış için gerekli değişiklik neredeyse önemsizdir: durdurmayı, sadece bu atışta görebileceğiniz gibi, kaçış kolunun tam olarak iki topunun yer alabilmesi için hareket ettirin (erişime izin vermek için tırnağın geçici olarak çıkarıldığını unutmayın) durdurmak için).

İki topu tutarken dengeye yakın olmaları için yapılması gerekenler bu kadardır; İşte tümüyle değiştirilmiş sayma makinesinin bir resmi, stoklanmış tüm mermer depoları.

Üçlü tezgâh ile neredeyse aynı gözüküyor (kaçış içerisinde iki tane mermer olduğu gerçeğini ortaya çıkarabilirsiniz), ancak daha farklı davranacak. Hadi eylemde görelim.

Burada tam olarak ne oluyor? Açıkça, makine bir anlamda sayıyor. Her top eklendiğinde, her bir tuzakta kaç tane mermer bulunduğunu belirten farklı bir duruma girer. Ve devletlerin hiçbiri tekrar etmiyor (en azından makine eklenen 24. mermerde taşmadan önce), bu nedenle her olumsuz olmayan tamsayı için farklı bir gösterim elde ediyoruz. Videoyu tekrar oynatır ve izlerseniz, aşağıdaki gösterimler tablosunu oluşturabilirsiniz:

Numara Belirtmek, bildirmek Numara Belirtmek, bildirmek
0 0 12 2120
1 1 13 2121
2 2 14 2122
3 20 15 21010
4 21 16 21011
5 22 17 21012
6 210 18 21200
7 211 19 21201
8 212 20 21202
9 2100 21 21220
10 2101 22 21221
11 2102 23 21222

Bu yeni sayı sistemini nasıl anlayabiliriz? Peki, üçlü sayacımızdaki ikinci tuzağa bir top yapan neydi? İlk tuzağa giren her üç top için ikinci tuzağa bir top ilave edildi. Şimdi bu gerçekleştiğinde ikinci tuzağa iki top eklendiğinden, muhtemelen ikinci tuzaktaki topların üçlü sayaçtaki yarısına eşit olduğu görülüyor. Başka bir deyişle, ikinci tuzaktaki bir topun 3/2 mi, bir buçuk mu temsil ettiği olabilir?

Aslında, yukarıdaki gösterimlere bakarsanız, örneğin 4'e karşılık gelen durumun “21” olduğunu görürsünüz. Bunu 2 × (3/2) + 1 olarak yorumluyorsak, 4!

Öyleyse üçüncü tuzaktaki bir mermer neyi temsil etmeli? Eh, her biri 3/2 değerindeki misketlerden üçü veya hepsinde 9/2, üçüncü tuzağa iki misket serbest bırakacaktır, bu yüzden her biri 9/2 veya 9/4 değerinde olmalıdır. Yine, bu yukarıdaki gösterimlerle sonuçlanır: 7, 2 × (9/4) + 1 × (3/2) + 1 değerine eşittir.

Ve tesadüfen değil, 9 / 4'ün 3/2 karesi olduğuna dikkat edin. Dördüncü tuzaktaki mermerlerin 3/2 veya 27/8 küp değerinde olduklarını doğrulayabilirsiniz. Beşinci tuzaktaki mermerler (bu makinedeki en alttaki) 3/2 veya 81/16 dördüncü kuvvete değer. Yine, örneğin, 23 = 2 × (81/16) + (27/8) + 2 × (9/4) + 2 × (3/2) + 2.

Başka bir deyişle, bu makine 3/2 tabanında sayıyor. Garip - kesirli temellere sahip olmak mümkün gibi görünmeyebilir. Ne de olsa, 3/2 tabanındaki muhtemel her sayı tam sayıyı temsil etmiyor. Mesela, bu sistemdeki “11” iki buçuk anlamına gelir, bu yüzden asla sayılmaz. Ancak, bu makinenin varlığı, özünde, her tam sayı için bir rakam olduğunu kanıtlar (daha yüksek sayıları işlemek için daha fazla kaçış ve tuzak katmanı eklemeyi düşünebilirsiniz).

Şansın sahip olacağı gibi, tam olarak “bir buçuk” anlamına gelen bir latin kökü sesqui var, örneğin “sesquicentennial” kelimesine bakın. Böylece ikili ve üçlü sayma / ekleme makinaları üzerindeki çalışmalarımızı genişleterek, sesquinary sayı sistemini keşfettik.

Bunu yaparken, bazı çok ilginç ve derin matematiğin kenarına rastladık. Örneğin, üç sayıyla başlayan her sesquinary sayısının 2 rakamıyla başladığına dikkat edin. Ve altıdan itibaren her sayı, 21 rakamıyla başlar. İlk üç rakam hiç bu şekilde dengelenir mi, yoksa denir mi? Saydığınız en doğru yerde bulunan rakam dizisi hakkında ne fark ediyorsunuz? İkinci-en sağa mı? Diğer yerler? Bu sayıların her birinin son üç rakamının farklı olduğuna dikkat edin; Başka bir deyişle, 21222'ye eşit veya daha az bir sesquinary sayısının, hangi rakamın üç rakamdan daha fazla olmasına rağmen, sadece son üç hanesinden ne temsil ettiğini görebilirsiniz. Bu ne kadar sürer? Son dört hane ile benzer bir fenomen var mı?

Bu sayı sistemi hakkında dikkat edilmesi gereken sorular ve daha birçok soru var; James Tanton'ın “Patlayan Noktalar” konusundaki kursunun 9. bölümünde önerdiği birçok şeyi bulabilir veya kendinizinkini keşfedebilirsiniz. (Eğer bu dersi okursanız, son dört haftadır neler yaptığımızı, Tanton'un düşünce deneyi olarak kullandığı patlayan nokta makinelerinin fiziksel gerçekleşmelerini oluşturmak olarak yorumlayabilirsiniz.) Fakat bu, gerçek matematiksel makineler yapma hakkında bir sütun olduğundan, Sesquinary tezgahında biraz daha kapanacağım.

Bu makinede tuzakların hangi sırayla tetiklendiğini veya mermerler eklendiğinde, doğru sayılmasının önemi olup olmadığını merak edebilirsiniz. Herhangi bir arıza yapmaz, yapmaz; Neden biraz düşünürseniz veya Jim Propp’un Matematiksel Enchantments’ına bu konuyla ilgili daha fazla bilgi için neden düşünebilirsiniz. Her neyse, bunu fiziksel olarak göstermek için, en üstteki tuzağa aynı anda 13 mermer atalım ve ne olacağını görelim:

Voilà, 2121 devletine yerleşiyor - 13'ün sesquinary temsili - tıpkı mermerleri birer birer eklediğimizde olduğu gibi. Bu işi yapmak için, ilk tuzağa bir sekme eklemek zorunda kaldım, tuzak üç mermer attığında fazladan bir mermerin gizlice girmesini engellemek zorunda kaldım. Aslında, makine her taşındığında bir sonraki tuzağa iki mermer gönderdiğinden ve bu tuzağın içinde iki mermer bulunduğundan, tüm tuzaklar üzerlerinde bir tırnağa sahip olsaydı, makinenin tamamı daha güvenilir bir şekilde çalışırdı. Üç mermer kaçağı da özleriz.

Her neyse, matematiksel mermer makinelerinde bu seri için hepsi bu kadar. Kendi mermer makinelerinizi yaparsanız veya sesquinary sayılarındaki yeni desenleri keşfederseniz, [e-posta korumalı] adresinden bana bildirin. Ayrıntı çekimi olarak, Jim'in yaptığı bir konuşma için oluşturduğum daha büyük ölçekli bir sesquinary ekleme makinesinin resmi Propp son MOVES konferansında verdi ve Propp SESQUIAC'in adını verdi:

Hisse

Yorum Bırakmak